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102_Asymptotische_Schranken.tex

@@ -32,7 +32,7 @@ Der Zugänglichkeit zuliebe wurde in dem Beispiel $T^{\text{is}}_{\text{avg}}(n)
 Definition berechnet.
 Nun kann man, bei sehr großem $n$, sowohl die Konstanten $a_0$ und $a_2$ als auch den Term $a_1 n$ vernachlässigen.
 
-Mathematisch präzisiert wird das in der sogenannten $\mathcal{O}$-, $\Theta$- und $\Omega$-Notation.
+Mathematisch präzisiert wird das in der sogenannten $\mathcal{O}$-, $Θ$- und $Ω$-Notation.
 
 \subsection{Direkte Definition der asymptotischen Schranken}
 Wir betrachten grundsätzlich Funktionen $f(n),g(n):\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{R}^{+}$. Eine Funktion $g(n)$ ist eine
@@ -51,29 +51,29 @@ aber meinen damit stets $f \in \mathcal{O}(g)$. Es wird oftmals auch die Notatio
 
 Analog dazu die untere Schranke: Wieder müssen $c \in \mathbb{R}^+$ und $n_0 \in \mathbb{N}$ existieren, sodass für alle
 fortfolgenden $n \in \mathbb{N}$ $f(n)$ stets \emph{größer} ist $c g(n)$.
-\begin{definition}[Asymptotisch untere Schranke: $\Omega$-Notation]
+\begin{definition}[Asymptotisch untere Schranke: $Ω$-Notation]
   Seien $f,g: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}^+$ zwei positive Funktionen. Wir definieren die Menge der von $g$ asymptotisch
   nach unten beschränkten Funktionen 
   \[
-    \Omega(g) := \{f\ |\ \exists c \in \mathbb{R}^+, \exists n_o \in \mathbb{N}, \forall n > n_0: f(n) \ge c g(n)\}.
+    Ω(g) := \{f\ |\ \exists c \in \mathbb{R}^+, \exists n_o \in \mathbb{N}, \forall n > n_0: f(n) \ge c g(n)\}.
   \]
 \end{definition}
-Wir sagen wahlweise $f$ liegt in $\Omega$ von $g$, $f$ ist asymptotisch von $g$ nach unten beschränkt, etc.,
-aber meinen damit stets $f \in \Omega(g)$. Es wird oftmals auch die Notation $f = \Omega(g) :\Leftrightarrow f
-\in \Omega(g)$ benutzt.
+Wir sagen wahlweise $f$ liegt in $Ω$ von $g$, $f$ ist asymptotisch von $g$ nach unten beschränkt, etc.,
+aber meinen damit stets $f \in Ω(g)$. Es wird oftmals auch die Notation $f = Ω(g) :\Leftrightarrow f
+\in Ω(g)$ benutzt.
 
 Die Definition der beidseitigen Schranke überrascht nun nichtmehr:
-\begin{definition}[Asymptotisch exakte Schranke: $\Theta$-Notation]
+\begin{definition}[Asymptotisch exakte Schranke: $Θ$-Notation]
   Seien $f,g: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}^+$ zwei positive Funktionen. Wir definieren die Menge der von $g$ asymptotisch
   exakt beschränkten Funktionen 
   \[
-    \Theta(g) := \{f\ |\ \exists c_1, c_2 \in \mathbb{R}^+, \exists n_o \in \mathbb{N}, \forall n > n_0:
+    Θ(g) := \{f\ |\ \exists c_1, c_2 \in \mathbb{R}^+, \exists n_o \in \mathbb{N}, \forall n > n_0:
       c_1 g(n) \le f(n) \le c_2 g(n)\}.
   \]
 \end{definition}
-Wir sagen wahlweise $f$ liegt in $\Theta$ von $g$, $f$ ist asymptotisch (exakt) von $g$ beschränkt, etc.,
-aber meinen damit stets $f \in \Theta(g)$. Es wird oftmals auch die Notation $f = \Theta(g) :\Leftrightarrow f
-\in \Theta(g)$ benutzt.
+Wir sagen wahlweise $f$ liegt in $Θ$ von $g$, $f$ ist asymptotisch (exakt) von $g$ beschränkt, etc.,
+aber meinen damit stets $f \in Θ(g)$. Es wird oftmals auch die Notation $f = Θ(g) :\Leftrightarrow f
+\in Θ(g)$ benutzt.
 %
 \begin{figure}[!htb]
   \label{fig:o-omega-notation}
@@ -105,7 +105,7 @@ aber meinen damit stets $f \in \Theta(g)$. Es wird oftmals auch die Notation $f
         \draw[name path=n0, dashed] (2, 0) -- (2, 4) node[below, pos=0] {$n_0$};
       \end{axis}
     \end{tikzpicture}
-    \caption{$f \in \Omega(g)$, mit $n_0 = 2$}
+    \caption{$f \in Ω(g)$, mit $n_0 = 2$}
   \end{subfigure}
   \vskip 25pt
 %
@@ -123,14 +123,14 @@ aber meinen damit stets $f \in \Theta(g)$. Es wird oftmals auch die Notation $f
       \end{axis}
     \end{tikzpicture}
     \centering
-    \caption{$f \in \Theta(g)$, wobei $g(n) = n^2$, $c_1=0.3$, $c_2=2$ und $f(n)=n^2+75\sin(2n)$. Ab $n_0 = 9$ wird
+    \caption{$f \in Θ(g)$, wobei $g(n) = n^2$, $c_1=0.3$, $c_2=2$ und $f(n)=n^2+75\sin(2n)$. Ab $n_0 = 9$ wird
     $f$ von $c_1g$ und $c_2g$ abgeschätzt.}
   \end{subfigure}
 \end{figure}
 
 Man sieht direkt, dass 
 \[
-  f \in \Theta(g) \Leftrightarrow f \in \mathcal{O}(g) \text{ und } f \in \Omega(g).
+  f \in Θ(g) \Leftrightarrow f \in \mathcal{O}(g) \text{ und } f \in Ω(g).
 \]
 
 Wir können nun direkt mit dieser Definition den Asymptotischen Aufwand von $T^{\text{is}}_{\text{bc}}(n)$
@@ -254,10 +254,10 @@ Damit können wir das Logarithmusbeispiel lösen:
 \begin{lemma} Die Basis des Logarithmus ist für asymptotische Betrachtung nicht interessant. Seien $b, b' \in
   \mathbb{R}^+$, dann gilt:
   \[
-    \log_b \in \Theta(\log_{b'})  \]
+    \log_b \in Θ(\log_{b'})  \]
   Insbesondere gilt für den häufig vorkommenden Logarithmus zur Basis $2$:
   \[
-    \log_2 \in \Theta(\ln)
+    \log_2 \in Θ(\ln)
   \]
   \label{lemma:basis_logarithmus}
 \end{lemma}
@@ -373,8 +373,8 @@ Damit können wir nicht nur Kriterien für asymptotisches Wachstum benennen, son
   Seien $f,g: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}^+$ positive reelle Funktionen. Es gilt
   \begin{itemize}
     \item $f \in \mathcal{O}(g) \Leftrightarrow \limsup_{n \rightarrow ∞} \frac{f(n)}{g(n)} < ∞$,
-    \item $f \in \Omega(g) \Leftrightarrow \liminf_{n \rightarrow ∞} \frac{f(n)}{g(n)} > 0$,
-    \item $f \in \Theta(g) \Leftrightarrow \limsup_{n \rightarrow ∞} \frac{f(n)}{g(n)} < ∞ \text{ und }
+    \item $f \in Ω(g) \Leftrightarrow \liminf_{n \rightarrow ∞} \frac{f(n)}{g(n)} > 0$,
+    \item $f \in Θ(g) \Leftrightarrow \limsup_{n \rightarrow ∞} \frac{f(n)}{g(n)} < ∞ \text{ und }
       \liminf_{n \rightarrow ∞} \frac{f(n)}{g(n)} > 0$.
   \end{itemize}
   \label{theorem:limit_definition}