diff --git a/102_Asymptotische_Schranken.tex b/102_Asymptotische_Schranken.tex index 2567637cb0e7b7b3f0ef4e0a88d793a992fca813..aead0c95339b7fdf12bc5dcd5f2cab4aa7a96b38 100644 --- a/102_Asymptotische_Schranken.tex +++ b/102_Asymptotische_Schranken.tex @@ -32,7 +32,7 @@ Der Zugänglichkeit zuliebe wurde in dem Beispiel $T^{\text{is}}_{\text{avg}}(n) Definition berechnet. Nun kann man, bei sehr großem $n$, sowohl die Konstanten $a_0$ und $a_2$ als auch den Term $a_1 n$ vernachlässigen. -Mathematisch präzisiert wird das in der sogenannten $\mathcal{O}$-, $\Theta$- und $\Omega$-Notation. +Mathematisch präzisiert wird das in der sogenannten $\mathcal{O}$-, $Θ$- und $Ω$-Notation. \subsection{Direkte Definition der asymptotischen Schranken} Wir betrachten grundsätzlich Funktionen $f(n),g(n):\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{R}^{+}$. Eine Funktion $g(n)$ ist eine @@ -51,29 +51,29 @@ aber meinen damit stets $f \in \mathcal{O}(g)$. Es wird oftmals auch die Notatio Analog dazu die untere Schranke: Wieder müssen $c \in \mathbb{R}^+$ und $n_0 \in \mathbb{N}$ existieren, sodass für alle fortfolgenden $n \in \mathbb{N}$ $f(n)$ stets \emph{größer} ist $c g(n)$. -\begin{definition}[Asymptotisch untere Schranke: $\Omega$-Notation] +\begin{definition}[Asymptotisch untere Schranke: $Ω$-Notation] Seien $f,g: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}^+$ zwei positive Funktionen. Wir definieren die Menge der von $g$ asymptotisch nach unten beschränkten Funktionen \[ - \Omega(g) := \{f\ |\ \exists c \in \mathbb{R}^+, \exists n_o \in \mathbb{N}, \forall n > n_0: f(n) \ge c g(n)\}. + Ω(g) := \{f\ |\ \exists c \in \mathbb{R}^+, \exists n_o \in \mathbb{N}, \forall n > n_0: f(n) \ge c g(n)\}. \] \end{definition} -Wir sagen wahlweise $f$ liegt in $\Omega$ von $g$, $f$ ist asymptotisch von $g$ nach unten beschränkt, etc., -aber meinen damit stets $f \in \Omega(g)$. Es wird oftmals auch die Notation $f = \Omega(g) :\Leftrightarrow f -\in \Omega(g)$ benutzt. +Wir sagen wahlweise $f$ liegt in $Ω$ von $g$, $f$ ist asymptotisch von $g$ nach unten beschränkt, etc., +aber meinen damit stets $f \in Ω(g)$. Es wird oftmals auch die Notation $f = Ω(g) :\Leftrightarrow f +\in Ω(g)$ benutzt. Die Definition der beidseitigen Schranke überrascht nun nichtmehr: -\begin{definition}[Asymptotisch exakte Schranke: $\Theta$-Notation] +\begin{definition}[Asymptotisch exakte Schranke: $Θ$-Notation] Seien $f,g: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}^+$ zwei positive Funktionen. Wir definieren die Menge der von $g$ asymptotisch exakt beschränkten Funktionen \[ - \Theta(g) := \{f\ |\ \exists c_1, c_2 \in \mathbb{R}^+, \exists n_o \in \mathbb{N}, \forall n > n_0: + Θ(g) := \{f\ |\ \exists c_1, c_2 \in \mathbb{R}^+, \exists n_o \in \mathbb{N}, \forall n > n_0: c_1 g(n) \le f(n) \le c_2 g(n)\}. \] \end{definition} -Wir sagen wahlweise $f$ liegt in $\Theta$ von $g$, $f$ ist asymptotisch (exakt) von $g$ beschränkt, etc., -aber meinen damit stets $f \in \Theta(g)$. Es wird oftmals auch die Notation $f = \Theta(g) :\Leftrightarrow f -\in \Theta(g)$ benutzt. +Wir sagen wahlweise $f$ liegt in $Θ$ von $g$, $f$ ist asymptotisch (exakt) von $g$ beschränkt, etc., +aber meinen damit stets $f \in Θ(g)$. Es wird oftmals auch die Notation $f = Θ(g) :\Leftrightarrow f +\in Θ(g)$ benutzt. % \begin{figure}[!htb] \label{fig:o-omega-notation} @@ -105,7 +105,7 @@ aber meinen damit stets $f \in \Theta(g)$. Es wird oftmals auch die Notation $f \draw[name path=n0, dashed] (2, 0) -- (2, 4) node[below, pos=0] {$n_0$}; \end{axis} \end{tikzpicture} - \caption{$f \in \Omega(g)$, mit $n_0 = 2$} + \caption{$f \in Ω(g)$, mit $n_0 = 2$} \end{subfigure} \vskip 25pt % @@ -123,14 +123,14 @@ aber meinen damit stets $f \in \Theta(g)$. Es wird oftmals auch die Notation $f \end{axis} \end{tikzpicture} \centering - \caption{$f \in \Theta(g)$, wobei $g(n) = n^2$, $c_1=0.3$, $c_2=2$ und $f(n)=n^2+75\sin(2n)$. Ab $n_0 = 9$ wird + \caption{$f \in Θ(g)$, wobei $g(n) = n^2$, $c_1=0.3$, $c_2=2$ und $f(n)=n^2+75\sin(2n)$. Ab $n_0 = 9$ wird $f$ von $c_1g$ und $c_2g$ abgeschätzt.} \end{subfigure} \end{figure} Man sieht direkt, dass \[ - f \in \Theta(g) \Leftrightarrow f \in \mathcal{O}(g) \text{ und } f \in \Omega(g). + f \in Θ(g) \Leftrightarrow f \in \mathcal{O}(g) \text{ und } f \in Ω(g). \] Wir können nun direkt mit dieser Definition den Asymptotischen Aufwand von $T^{\text{is}}_{\text{bc}}(n)$ @@ -254,10 +254,10 @@ Damit können wir das Logarithmusbeispiel lösen: \begin{lemma} Die Basis des Logarithmus ist für asymptotische Betrachtung nicht interessant. Seien $b, b' \in \mathbb{R}^+$, dann gilt: \[ - \log_b \in \Theta(\log_{b'}) \] + \log_b \in Θ(\log_{b'}) \] Insbesondere gilt für den häufig vorkommenden Logarithmus zur Basis $2$: \[ - \log_2 \in \Theta(\ln) + \log_2 \in Θ(\ln) \] \label{lemma:basis_logarithmus} \end{lemma} @@ -373,8 +373,8 @@ Damit können wir nicht nur Kriterien für asymptotisches Wachstum benennen, son Seien $f,g: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}^+$ positive reelle Funktionen. Es gilt \begin{itemize} \item $f \in \mathcal{O}(g) \Leftrightarrow \limsup_{n \rightarrow ∞} \frac{f(n)}{g(n)} < ∞$, - \item $f \in \Omega(g) \Leftrightarrow \liminf_{n \rightarrow ∞} \frac{f(n)}{g(n)} > 0$, - \item $f \in \Theta(g) \Leftrightarrow \limsup_{n \rightarrow ∞} \frac{f(n)}{g(n)} < ∞ \text{ und } + \item $f \in Ω(g) \Leftrightarrow \liminf_{n \rightarrow ∞} \frac{f(n)}{g(n)} > 0$, + \item $f \in Θ(g) \Leftrightarrow \limsup_{n \rightarrow ∞} \frac{f(n)}{g(n)} < ∞ \text{ und } \liminf_{n \rightarrow ∞} \frac{f(n)}{g(n)} > 0$. \end{itemize} \label{theorem:limit_definition}