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Unger, Florian Fedor Fridolin
Datenstrukturen und Algorithm Skript
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9a5b7f36
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9a5b7f36
authored
2 years ago
by
Florian Unger
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102_Asymptotische_Schranken.tex
+18
-18
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102_Asymptotische_Schranken.tex
with
18 additions
and
18 deletions
102_Asymptotische_Schranken.tex
+
18
−
18
View file @
9a5b7f36
...
...
@@ -32,7 +32,7 @@ Der Zugänglichkeit zuliebe wurde in dem Beispiel $T^{\text{is}}_{\text{avg}}(n)
Definition berechnet.
Nun kann man, bei sehr großem
$
n
$
, sowohl die Konstanten
$
a
_
0
$
und
$
a
_
2
$
als auch den Term
$
a
_
1
n
$
vernachlässigen.
Mathematisch präzisiert wird das in der sogenannten
$
\mathcal
{
O
}$
-,
$
\Theta
$
- und
$
\Omega
$
-Notation.
Mathematisch präzisiert wird das in der sogenannten
$
\mathcal
{
O
}$
-,
$
Θ
$
- und
$
Ω
$
-Notation.
\subsection
{
Direkte Definition der asymptotischen Schranken
}
Wir betrachten grundsätzlich Funktionen
$
f
(
n
)
,g
(
n
)
:
\mathbb
{
N
}
\rightarrow\mathbb
{
R
}^{
+
}$
. Eine Funktion
$
g
(
n
)
$
ist eine
...
...
@@ -51,29 +51,29 @@ aber meinen damit stets $f \in \mathcal{O}(g)$. Es wird oftmals auch die Notatio
Analog dazu die untere Schranke: Wieder müssen
$
c
\in
\mathbb
{
R
}^
+
$
und
$
n
_
0
\in
\mathbb
{
N
}$
existieren, sodass für alle
fortfolgenden
$
n
\in
\mathbb
{
N
}$
$
f
(
n
)
$
stets
\emph
{
größer
}
ist
$
c g
(
n
)
$
.
\begin{definition}
[Asymptotisch untere Schranke:
$
\Omega
$
-Notation]
\begin{definition}
[Asymptotisch untere Schranke:
$
Ω
$
-Notation]
Seien
$
f,g:
\mathbb
{
N
}
\rightarrow
\mathbb
{
R
}^
+
$
zwei positive Funktionen. Wir definieren die Menge der von
$
g
$
asymptotisch
nach unten beschränkten Funktionen
\[
\Omega
(
g
)
:
=
\{
f
\
|
\ \exists
c
\in
\mathbb
{
R
}^
+
,
\exists
n
_
o
\in
\mathbb
{
N
}
,
\forall
n > n
_
0
: f
(
n
)
\ge
c g
(
n
)
\}
.
Ω
(
g
)
:
=
\{
f
\
|
\ \exists
c
\in
\mathbb
{
R
}^
+
,
\exists
n
_
o
\in
\mathbb
{
N
}
,
\forall
n > n
_
0
: f
(
n
)
\ge
c g
(
n
)
\}
.
\]
\end{definition}
Wir sagen wahlweise
$
f
$
liegt in
$
\Omega
$
von
$
g
$
,
$
f
$
ist asymptotisch von
$
g
$
nach unten beschränkt, etc.,
aber meinen damit stets
$
f
\in
\Omega
(
g
)
$
. Es wird oftmals auch die Notation
$
f
=
\Omega
(
g
)
:
\Leftrightarrow
f
\in
\Omega
(
g
)
$
benutzt.
Wir sagen wahlweise
$
f
$
liegt in
$
Ω
$
von
$
g
$
,
$
f
$
ist asymptotisch von
$
g
$
nach unten beschränkt, etc.,
aber meinen damit stets
$
f
\in
Ω
(
g
)
$
. Es wird oftmals auch die Notation
$
f
=
Ω
(
g
)
:
\Leftrightarrow
f
\in
Ω
(
g
)
$
benutzt.
Die Definition der beidseitigen Schranke überrascht nun nichtmehr:
\begin{definition}
[Asymptotisch exakte Schranke:
$
\Theta
$
-Notation]
\begin{definition}
[Asymptotisch exakte Schranke:
$
Θ
$
-Notation]
Seien
$
f,g:
\mathbb
{
N
}
\rightarrow
\mathbb
{
R
}^
+
$
zwei positive Funktionen. Wir definieren die Menge der von
$
g
$
asymptotisch
exakt beschränkten Funktionen
\[
\Theta
(
g
)
:
=
\{
f
\
|
\ \exists
c
_
1
, c
_
2
\in
\mathbb
{
R
}^
+
,
\exists
n
_
o
\in
\mathbb
{
N
}
,
\forall
n > n
_
0
:
Θ
(
g
)
:
=
\{
f
\
|
\ \exists
c
_
1
, c
_
2
\in
\mathbb
{
R
}^
+
,
\exists
n
_
o
\in
\mathbb
{
N
}
,
\forall
n > n
_
0
:
c
_
1
g
(
n
)
\le
f
(
n
)
\le
c
_
2
g
(
n
)
\}
.
\]
\end{definition}
Wir sagen wahlweise
$
f
$
liegt in
$
\Theta
$
von
$
g
$
,
$
f
$
ist asymptotisch (exakt) von
$
g
$
beschränkt, etc.,
aber meinen damit stets
$
f
\in
\Theta
(
g
)
$
. Es wird oftmals auch die Notation
$
f
=
\Theta
(
g
)
:
\Leftrightarrow
f
\in
\Theta
(
g
)
$
benutzt.
Wir sagen wahlweise
$
f
$
liegt in
$
Θ
$
von
$
g
$
,
$
f
$
ist asymptotisch (exakt) von
$
g
$
beschränkt, etc.,
aber meinen damit stets
$
f
\in
Θ
(
g
)
$
. Es wird oftmals auch die Notation
$
f
=
Θ
(
g
)
:
\Leftrightarrow
f
\in
Θ
(
g
)
$
benutzt.
%
\begin{figure}
[!htb]
\label
{
fig:o-omega-notation
}
...
...
@@ -105,7 +105,7 @@ aber meinen damit stets $f \in \Theta(g)$. Es wird oftmals auch die Notation $f
\draw
[name path=n0, dashed]
(2, 0) -- (2, 4) node[below, pos=0]
{$
n
_
0
$}
;
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\caption
{$
f
\in
\Omega
(
g
)
$
, mit
$
n
_
0
=
2
$}
\caption
{$
f
\in
Ω
(
g
)
$
, mit
$
n
_
0
=
2
$}
\end{subfigure}
\vskip
25pt
%
...
...
@@ -123,14 +123,14 @@ aber meinen damit stets $f \in \Theta(g)$. Es wird oftmals auch die Notation $f
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\centering
\caption
{$
f
\in
\Theta
(
g
)
$
, wobei
$
g
(
n
)
=
n
^
2
$
,
$
c
_
1
=
0
.
3
$
,
$
c
_
2
=
2
$
und
$
f
(
n
)=
n
^
2
+
75
\sin
(
2
n
)
$
. Ab
$
n
_
0
=
9
$
wird
\caption
{$
f
\in
Θ
(
g
)
$
, wobei
$
g
(
n
)
=
n
^
2
$
,
$
c
_
1
=
0
.
3
$
,
$
c
_
2
=
2
$
und
$
f
(
n
)=
n
^
2
+
75
\sin
(
2
n
)
$
. Ab
$
n
_
0
=
9
$
wird
$
f
$
von
$
c
_
1
g
$
und
$
c
_
2
g
$
abgeschätzt.
}
\end{subfigure}
\end{figure}
Man sieht direkt, dass
\[
f
\in
\Theta
(
g
)
\Leftrightarrow
f
\in
\mathcal
{
O
}
(
g
)
\text
{
und
}
f
\in
\Omega
(
g
)
.
f
\in
Θ
(
g
)
\Leftrightarrow
f
\in
\mathcal
{
O
}
(
g
)
\text
{
und
}
f
\in
Ω
(
g
)
.
\]
Wir können nun direkt mit dieser Definition den Asymptotischen Aufwand von
$
T
^{
\text
{
is
}}_{
\text
{
bc
}}
(
n
)
$
...
...
@@ -254,10 +254,10 @@ Damit können wir das Logarithmusbeispiel lösen:
\begin{lemma}
Die Basis des Logarithmus ist für asymptotische Betrachtung nicht interessant. Seien
$
b, b'
\in
\mathbb
{
R
}^
+
$
, dann gilt:
\[
\log
_
b
\in
\Theta
(
\log
_{
b'
}
)
\]
\log
_
b
\in
Θ
(
\log
_{
b'
}
)
\]
Insbesondere gilt für den häufig vorkommenden Logarithmus zur Basis
$
2
$
:
\[
\log
_
2
\in
\Theta
(
\ln
)
\log
_
2
\in
Θ
(
\ln
)
\]
\label
{
lemma:basis
_
logarithmus
}
\end{lemma}
...
...
@@ -373,8 +373,8 @@ Damit können wir nicht nur Kriterien für asymptotisches Wachstum benennen, son
Seien
$
f,g:
\mathbb
{
N
}
\rightarrow
\mathbb
{
R
}^
+
$
positive reelle Funktionen. Es gilt
\begin{itemize}
\item
$
f
\in
\mathcal
{
O
}
(
g
)
\Leftrightarrow
\limsup
_{
n
\rightarrow
∞
}
\frac
{
f
(
n
)
}{
g
(
n
)
}
< ∞
$
,
\item
$
f
\in
\Omega
(
g
)
\Leftrightarrow
\liminf
_{
n
\rightarrow
∞
}
\frac
{
f
(
n
)
}{
g
(
n
)
}
>
0
$
,
\item
$
f
\in
\Theta
(
g
)
\Leftrightarrow
\limsup
_{
n
\rightarrow
∞
}
\frac
{
f
(
n
)
}{
g
(
n
)
}
< ∞
\text
{
und
}
\item
$
f
\in
Ω
(
g
)
\Leftrightarrow
\liminf
_{
n
\rightarrow
∞
}
\frac
{
f
(
n
)
}{
g
(
n
)
}
>
0
$
,
\item
$
f
\in
Θ
(
g
)
\Leftrightarrow
\limsup
_{
n
\rightarrow
∞
}
\frac
{
f
(
n
)
}{
g
(
n
)
}
< ∞
\text
{
und
}
\liminf
_{
n
\rightarrow
∞
}
\frac
{
f
(
n
)
}{
g
(
n
)
}
>
0
$
.
\end{itemize}
\label
{
theorem:limit
_
definition
}
...
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