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301_dynamische_Arrays.tex

@@ -121,10 +121,10 @@ Damit kommen wir bei genauerer Betrachtung auf einen amortisierten Aufwand von $
 Im Unterschied zur average-case-Analyse haben wir bei einer amortisierten Analyse also \emph{garantiert}, dass $k$ subsequente Operationen nicht jedes
 mal im worst case landen.
 \begin{definition}[Amortisierte Laufzeit]
-  Seien $o_1, o_2, \dots$ endlich viele verschiedene Funktionen. Der \emph{amortisierte} Aufwand von Funktionenfolgen
+  Seien $o_1, o_2, \dots$ endlich viele verschiedene Operationen. Der \emph{amortisierte} Aufwand von Operationenfolgen
   $f_\bullet \in \{o_1, o_2, \dots\}^\mathbb{N}$ der Länge $n$ wird definiert als:
   \[
-    T_{\text{amo}}(n) = \frac{\max(\{\sum_{i=1}^n f_i | f_\bullet \in \{o_1, o_2, \dots\}^\mathbb{N})}{n}.
+    T_{\text{amo}}(n) = \frac{\max(\{\sum_{i=1}^n T(f_i) | f_\bullet \in \{o_1, o_2, \dots\}^\mathbb{N})}{n}.
   \]
 \end{definition}
 
@@ -216,9 +216,10 @@ Umstrukturierung:
 \end{lemma}
 \begin{proof}
   Wir beobachten zuerst: Direkt nach einer Umstrukturierung, als zu Beginn von Zeitpunkt $i+1$ gilt:
-  \[
+  \begin{align}
     n_{i+1} = \frac{n_\text{cap}}{2}.
-  \]
+    \label{eq:post_resizing}
+  \end{align}
   Nun gibt es zwei Fälle für die Umstrukturierung zum Zeitpunkt $j$:
   
   Fall 1: Die Umstrukturierung ist eine Erweiterung, es ist also $f_j$ gleich $\texttt{add}$.\\
@@ -253,13 +254,13 @@ Damit können wir zeigen, dass das dynamische Array einen amortisierten Aufwand
   vorherigen Lemma klar: Ist $K_0 = 0$ und damit nicht negativ, bleibt $K_i \leq 0$ für alle $i \in \mathbb{N}$.
   Da die tatsächliche Laufzeit $T(f_i) = a_i$, haben wir also 
   \[
-    T\left(\sum_{i=1}^n f_i \right) = \sum_{i=1}^n a_i \leq \sum_{i=1}^n e_i \leq 3n.
+    \sum_{i=1}^n T(f_i) = \sum_{i=1}^n a_i \leq \sum_{i=1}^n e_i \leq 3n.
   \]
   Das gilt für alle möglichen Operationenfolgen, also auch für die zeitaufwendigste.
 
   Nach Definition ist damit ist Laufzeit pro Operation 
   \[
-    T_{\text{amo}}(n) = \frac{\max(\{\sum_{i=1}^n f_i | f_\bullet \in \{\texttt{add}, \texttt{delete}\}^\mathbb{N})}{n}
+    T_{\text{amo}}(n) = \frac{\max(\{\sum_{i=1}^n T(f_i) | f_\bullet \in \{\texttt{add}, \texttt{delete}\}^\mathbb{N})}{n}
       \leq \frac{3n}{n} = 3 \in \mathcal{O}(1).
   \]
 \end{proof}