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102_Asymptotische_Schranken.tex

@@ -39,7 +39,7 @@ Wir betrachten grundsätzlich Funktionen $f(n),g(n):\mathbb{N}\rightarrow\mathbb
 asymptotisch obere Schranke für $f(n)$, wenn eine positive Konstante $c$ und eine natürliche Zahl $n_0$ existieren,
 sodass ab diesem $n_0$ die Funktion $f(n)$ für alle $n > n_0$ kleiner als $c \cdot g(n)$ bleibt.
 \begin{definition}[Asymptotisch obere Schranke: $\mathcal{O}$-Notation]
-  Seien $f,g: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}^+$ zwei positive Funktionen. Wir definitieren die Menge der von $g$ aymptotisch
+  Seien $f,g: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}^+$ zwei positive Funktionen. Wir definieren die Menge der von $g$ asymptotisch
   nach oben beschränkten Funktionen 
   \[
     \mathcal{O}(g) := \{f\  |\ \exists c \in \mathbb{R}^+, \exists n_o \in \mathbb{N}, \forall n > n_0: f(n) \le c g(n)\}.
@@ -52,7 +52,7 @@ aber meinen damit stets $f \in \mathcal{O}(g)$. Es wird oftmals auch die Notatio
 Analog dazu die untere Schranke: Wieder müssen $c \in \mathbb{R}^+$ und $n_0 \in \mathbb{N}$ existieren, sodass für alle
 fortfolgenden $n \in \mathbb{N}$ $f(n)$ stets \emph{größer} ist $c g(n)$.
 \begin{definition}[Asymptotisch untere Schranke: $\Omega$-Notation]
-  Seien $f,g: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}^+$ zwei positive Funktionen. Wir definitieren die Menge der von $g$ aymptotisch
+  Seien $f,g: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}^+$ zwei positive Funktionen. Wir definieren die Menge der von $g$ asymptotisch
   nach unten beschränkten Funktionen 
   \[
     \Omega(g) := \{f\ |\ \exists c \in \mathbb{R}^+, \exists n_o \in \mathbb{N}, \forall n > n_0: f(n) \ge c g(n)\}.
@@ -64,7 +64,7 @@ aber meinen damit stets $f \in \Omega(g)$. Es wird oftmals auch die Notation $f
 
 Die Definition der beidseitigen Schranke überrascht nun nichtmehr:
 \begin{definition}[Asymptotisch exakte Schranke: $\Theta$-Notation]
-  Seien $f,g: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}^+$ zwei positive Funktionen. Wir definitieren die Menge der von $g$ aymptotisch
+  Seien $f,g: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}^+$ zwei positive Funktionen. Wir definieren die Menge der von $g$ asymptotisch
   exakt beschränkten Funktionen 
   \[
     \Theta(g) := \{f\ |\ \exists c_1, c_2 \in \mathbb{R}^+, \exists n_o \in \mathbb{N}, \forall n > n_0:
@@ -187,7 +187,7 @@ $\frac{f(n)}{g(n)}$ im Infinitesimalen, so können wir das Grenzwertverhalten di
 \end{lemma}
 Damit können wir das Logarithmusbeispiel lösen:
 \begin{example}[$\ln(n) \in \mathcal{O}(\sqrt{n})$]
-  Wir betrachten weiterhin die kontinuerlichen Versionen. Dann gilt:
+  Wir betrachten weiterhin die kontinuierlichen Versionen. Dann gilt:
   \[
     \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\ln(x)}{\sqrt{x}} = \frac{\infty}{\infty},
   \]