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201_mergesort.tex

@@ -49,6 +49,7 @@ Wobei \texttt{merge} folgendermaßen definiert wird:
   }
   \KwRet $\mathcal{A}$
 \end{algorithm}
+%TODO: REWRITE TO LISTS
 
 \subsubsection{Laufzeit}
 Die Laufzeit der Algorithmen ist nicht vom konkreten Input, sondern nur von der Länge des Inputs abhängig. Worst, best
@@ -84,11 +85,11 @@ Wir müssen also nurnoch den asymptotischen Aufwand für die rekursiven Aufrufe
 Wir wissen, da $T_\text{m} \in \mathcal{O}(n)$, dass es ein $n_0 \in \mathbb{N}$ und $c \in \mathbb{R}$ gibt, sodass
 $T_\text{m}(n) \leq c n$ für \emph{alle} $n > n_0$. Insbesondere also für die nächstgrößere Zweierpotenz, sodass wir
 o.B.d.A. annehmen können: $n_0 = 2^k_0$ für ein $k_0 \in \mathbb{N}$. Für alle $n \leq n_0$ können wir den Aufwand von
-$T_\text{m}(n)$ zudem durch die Konstante $m = \max(\{T_\text{m}(i) | i \in \{0, \dots, n_0\}\})$ abschätzen.
+$T_\text{m}(n)$ zudem durch die Konstante $m = \max(\{T_\text{m}(i) \mid i \in \{0, \dots, n_0\}\})$ abschätzen.
 
 Das erlaubt es uns, obige Summe aufzuspalten:
 \[
-  \sum_{l=0}^{k-1} 2^l T_\text{m}\left( \frac{n}{2^l} \right) = 
+  \sum_{l=0}^{k-1} 2^l T_\text{m}\left( \frac{n}{2^l} \right) ≤ 
   \sum_{l=0}^{k-k_0} 2^l T_\text{m}\left( \frac{n}{2^l} \right) + 
   \underbrace{\sum_{l=k-k_0+1}^{k-1} 2^l T_\text{m}\left( \frac{n}{2^l} \right)}_{\leq 2^k m \in \mathcal{O}(n)}.
 \]
@@ -106,6 +107,6 @@ Dieser Term dominiert also alle anderen Terme, und damit $T_\text{ms} \in \mathc
 In der hier vorgestellten Variante muss bei jedem Aufruf von \texttt{merge} ein neues Array angelegt werden. Damit braucht
 $\texttt{mergesort}$ asymptotisch $\mathcal{O}(n)$ zusätzlichen Speicher.
 
-Es gibt allerdings auch weiterentwicklungen, die mit $\mathcal{O}(1)$ Speicher auskommen (z.B. TimSort oder blocksort).
+Es gibt allerdings auch Weiterentwicklungen, die mit $\mathcal{O}(1)$ Speicher auskommen (z.B. TimSort oder blocksort).