f+f'-regel vereinfacht

102_Asymptotische_Schranken.tex

@@ -238,9 +238,8 @@ Damit können wir nicht nur Kriterien für asymptotisches Wachstum benennen, son
 \begin{lemma}
   Seien $f, f', g, g', h: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}^+$.
   \begin{labeling}{Multiplikation\ \ }
-    \item[Addition] Seien $f \in \mathcal{O}(g)$ und $f' \in \mathcal{O}(g')$. Dann ist $f+f' \in \mathcal{O}(m)$, wobei
-      $m(n) = \text{max}(g(n), g'(n))$ die Funktion in Abhängigkeit von $g$ und $g'$ ist, welche Elementweise das Maximum
-      nimmt.
+  \item[Addition] Seien $f \in \mathcal{O}(g)$ und $f' \in \mathcal{O}(g')$. Sei $g ∈ \mathcal{O}(g')$. Dann ist $f+f'
+    \in \mathcal{O}(g')$.
     \item[Subtraktion] Seien $f, f' \in \mathcal{O}(g)$. Dann gilt  $f-f' \in \mathcal{O}(g)$.
     \item[Multiplikation] Seien $f \in \mathcal{O}(g)$ und $f' \in \mathcal{O}(g')$. Dann gilt $ff' \in
       \mathcal{O}(gg')$.
@@ -248,8 +247,8 @@ Damit können wir nicht nur Kriterien für asymptotisches Wachstum benennen, son
   \end{labeling}
   \label{lemma:asymptotische_rechenregeln}
 \end{lemma}
-Zur Additionsregel sei angemerkt, dass in vielen praktischen Fällen meist $g \in \mathcal{O}(g')$ oder andersherum gilt.
-Dann kann man $m$ einfach durch $g'$ (bzw $g$) ersetzen.
+Anmerkung: Gilt die zusätzliche Bedingung $g ∈ \mathcal{O}(g')$ nicht (und in keine der beiden Richtungen), so gilt
+immernoch $f+f' ∈ \mathcal{O}(m)$, wobei $m(n) = \text{max}(g(n), g'(n))$ das elementweise Maximum von $g$ und $g'$ ist.
 
 \begin{proof}
   Wir betrachten zur Veranschaulichung die Transitivität genauer.