From bc6c861402925acad7b53597df9e41ceb44204ca Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Florian Unger <florian.unger@fau.de> Date: Mon, 6 Mar 2023 10:24:20 +0100 Subject: [PATCH] f+f'-regel vereinfacht --- 102_Asymptotische_Schranken.tex | 9 ++++----- 1 file changed, 4 insertions(+), 5 deletions(-) diff --git a/102_Asymptotische_Schranken.tex b/102_Asymptotische_Schranken.tex index 4565f9f..0a12e1a 100644 --- a/102_Asymptotische_Schranken.tex +++ b/102_Asymptotische_Schranken.tex @@ -238,9 +238,8 @@ Damit können wir nicht nur Kriterien für asymptotisches Wachstum benennen, son \begin{lemma} Seien $f, f', g, g', h: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}^+$. \begin{labeling}{Multiplikation\ \ } - \item[Addition] Seien $f \in \mathcal{O}(g)$ und $f' \in \mathcal{O}(g')$. Dann ist $f+f' \in \mathcal{O}(m)$, wobei - $m(n) = \text{max}(g(n), g'(n))$ die Funktion in Abhängigkeit von $g$ und $g'$ ist, welche Elementweise das Maximum - nimmt. + \item[Addition] Seien $f \in \mathcal{O}(g)$ und $f' \in \mathcal{O}(g')$. Sei $g ∈ \mathcal{O}(g')$. Dann ist $f+f' + \in \mathcal{O}(g')$. \item[Subtraktion] Seien $f, f' \in \mathcal{O}(g)$. Dann gilt $f-f' \in \mathcal{O}(g)$. \item[Multiplikation] Seien $f \in \mathcal{O}(g)$ und $f' \in \mathcal{O}(g')$. Dann gilt $ff' \in \mathcal{O}(gg')$. @@ -248,8 +247,8 @@ Damit können wir nicht nur Kriterien für asymptotisches Wachstum benennen, son \end{labeling} \label{lemma:asymptotische_rechenregeln} \end{lemma} -Zur Additionsregel sei angemerkt, dass in vielen praktischen Fällen meist $g \in \mathcal{O}(g')$ oder andersherum gilt. -Dann kann man $m$ einfach durch $g'$ (bzw $g$) ersetzen. +Anmerkung: Gilt die zusätzliche Bedingung $g ∈ \mathcal{O}(g')$ nicht (und in keine der beiden Richtungen), so gilt +immernoch $f+f' ∈ \mathcal{O}(m)$, wobei $m(n) = \text{max}(g(n), g'(n))$ das elementweise Maximum von $g$ und $g'$ ist. \begin{proof} Wir betrachten zur Veranschaulichung die Transitivität genauer. -- GitLab