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305_RBT.tex

@@ -41,8 +41,8 @@ Wir notieren RBT über einen Datentyp $D$ analog zu BST und speichern lediglich
 \end{align*}
 
 Per Konvention nehmen wir an, dass der Wurzelknoten immer Schwarz ist.
-Wenn der kürzeste vorstellbare Pfad von der Wurzel zu einem Blatt in einem RBT-Tree durch $l$ ausschließlich durch schwarze Knoten geht, ist der längste
-Pfad dann durch $2l$ Knoten, immer einen Schwarzen und einen roten. Dadurch ist gewährleistet, dass das höchste Blatt
+Wenn der kürzeste vorstellbare Pfad von der Wurzel zu einem Blatt in einem RBT-Tree durch $h'$ ausschließlich durch schwarze Knoten geht, ist der längste
+Pfad dann durch $2h'$ Knoten, immer einen Schwarzen und einen roten. Dadurch ist gewährleistet, dass das höchste Blatt
 maximal halb so hoch hängt wie eins auf der untersten Ebene.
 
 Dadurch folgt:
@@ -52,6 +52,8 @@ Dadurch folgt:
 \end{lemma}
 Die Details des Beweises sind eine Übungsaufgabe.
 
+Umgekehrt ist die Kapazität eines RBT zwischen $2^{h'}$ und $4^{h'}$.
+
 \subsection{Einfügen in Red-Black-Trees}
 
 Da RBT insbesondere Binäre Suchbäume sind, sind die Operationen zum Suchen von Elementen, dem Finden des Maximums,
@@ -152,8 +154,29 @@ kann:
   \label{lemma:rbt_amortisiert}
 \end{lemma}
 \begin{proof}
-  
-\end{proof}<++>
+  Wir beobachten zuerst, dass sich bei einer Anwendung der Regel (3.5) die Kapazität des entsprechenden Teilbaums
+  verdoppelt: In jeder der vier Ausgangsfälle in Abbildung \ref{fig:rbt_balance} beträgt die Kapazität maximal
+  $4^{h'}$, wobei $h'$ hier die Anzahl der zu durchwandernden schwarzen Knoten auf den von der Wurzel dieses Teilbaums zu
+  einem Blatt beschreibt.
+
+  Nach der Umstrukturierung hat jedoch jeder Teilbaum mit der Wurzel $x$ bzw $z$ die maximale Kapazität $4^{h'}$, d.h.
+  der Teilbaum mit $y$ als Wurzel hat $2 4^{h'}$ Kapazität.
+
+  Dadurch ergeben sich beim Einfügen die in Abbildung \ref{fig:RBT_aufwand} skizzierten Schreibaufwände - eine Umstrukturierung
+  in der $i.$ Ebene ist doppelt so häufig wie in der Ebene $(i-1)$.
+
 
+  Akkumuliert man also über $k=2^l$ mal subsequent einfügen, ergeben sich eine folgende Anzahl von Schreiboperationen:
+  \[
+    2^l + 2^{l-1} + 2^{l-2} + \dots + 2^0 ≤ 2^{l+1} = 2*k,
+  \]
+  und damit amortisiert über $k$ Schritte $\mathcal{O}(1)$ Aufwand.
 
+\end{proof}
+
+\begin{figure}[h]
+  \centering
+  \input{bilder/RBT_aufwand.tex}
+  \label{fig:RBT_aufwand}
+\end{figure}