From 49ffbcc865dd935a484ec1d5af6ade529b4d3f71 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Florian Unger <florian.unger@posteo.net>
Date: Tue, 14 Jun 2022 17:34:12 +0200
Subject: [PATCH] progress on RBT chapter
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305_RBT.tex | 31 +++++++++++++++++++++++++++----
1 file changed, 27 insertions(+), 4 deletions(-)
diff --git a/305_RBT.tex b/305_RBT.tex
index b384954..d2ef4aa 100644
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+++ b/305_RBT.tex
@@ -41,8 +41,8 @@ Wir notieren RBT über einen Datentyp $D$ analog zu BST und speichern lediglich
\end{align*}
Per Konvention nehmen wir an, dass der Wurzelknoten immer Schwarz ist.
-Wenn der kürzeste vorstellbare Pfad von der Wurzel zu einem Blatt in einem RBT-Tree durch $l$ ausschließlich durch schwarze Knoten geht, ist der längste
-Pfad dann durch $2l$ Knoten, immer einen Schwarzen und einen roten. Dadurch ist gewährleistet, dass das höchste Blatt
+Wenn der kürzeste vorstellbare Pfad von der Wurzel zu einem Blatt in einem RBT-Tree durch $h'$ ausschließlich durch schwarze Knoten geht, ist der längste
+Pfad dann durch $2h'$ Knoten, immer einen Schwarzen und einen roten. Dadurch ist gewährleistet, dass das höchste Blatt
maximal halb so hoch hängt wie eins auf der untersten Ebene.
Dadurch folgt:
@@ -52,6 +52,8 @@ Dadurch folgt:
\end{lemma}
Die Details des Beweises sind eine Übungsaufgabe.
+Umgekehrt ist die Kapazität eines RBT zwischen $2^{h'}$ und $4^{h'}$.
+
\subsection{Einfügen in Red-Black-Trees}
Da RBT insbesondere Binäre Suchbäume sind, sind die Operationen zum Suchen von Elementen, dem Finden des Maximums,
@@ -152,8 +154,29 @@ kann:
\label{lemma:rbt_amortisiert}
\end{lemma}
\begin{proof}
-
-\end{proof}<++>
+ Wir beobachten zuerst, dass sich bei einer Anwendung der Regel (3.5) die Kapazität des entsprechenden Teilbaums
+ verdoppelt: In jeder der vier Ausgangsfälle in Abbildung \ref{fig:rbt_balance} beträgt die Kapazität maximal
+ $4^{h'}$, wobei $h'$ hier die Anzahl der zu durchwandernden schwarzen Knoten auf den von der Wurzel dieses Teilbaums zu
+ einem Blatt beschreibt.
+
+ Nach der Umstrukturierung hat jedoch jeder Teilbaum mit der Wurzel $x$ bzw $z$ die maximale Kapazität $4^{h'}$, d.h.
+ der Teilbaum mit $y$ als Wurzel hat $2 4^{h'}$ Kapazität.
+
+ Dadurch ergeben sich beim Einfügen die in Abbildung \ref{fig:RBT_aufwand} skizzierten Schreibaufwände - eine Umstrukturierung
+ in der $i.$ Ebene ist doppelt so häufig wie in der Ebene $(i-1)$.
+
+ Akkumuliert man also über $k=2^l$ mal subsequent einfügen, ergeben sich eine folgende Anzahl von Schreiboperationen:
+ \[
+ 2^l + 2^{l-1} + 2^{l-2} + \dots + 2^0 ≤ 2^{l+1} = 2*k,
+ \]
+ und damit amortisiert über $k$ Schritte $\mathcal{O}(1)$ Aufwand.
+\end{proof}
+
+\begin{figure}[h]
+ \centering
+ \input{bilder/RBT_aufwand.tex}
+ \label{fig:RBT_aufwand}
+\end{figure}
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