Kapitel 1.2 neu strukturiert, ähnlicher zur Vorlesung.

102_Asymptotische_Schranken.tex

@@ -8,7 +8,7 @@ Programms als auch der Speicherbedarf $S(n)$ meist durch \emph{asymptotische Sch
 Wir schließen das Kapitel mit einer formaleren Definition, wie wir die Laufzeit (und Speicherverbrauch) 
 eines Programms in Abhängigkeit von der Inputlänge $n$ beschreiben:
 \begin{definition}[Laufzeit $T(n)$ und Speicherverbrauch $S(n)$]
-  Sei $I$ der Input für unseren Algorithmus, $\abs{I} < \infty$ die Größe des Inputs. Sei $T(I) \in \mathbb{R}^+$ die
+  Sei $I$ der Input für unseren Algorithmus, $\abs{I} < ∞$ die Größe des Inputs. Sei $T(I) \in \mathbb{R}^+$ die
   Laufzeit, die unser Algorithmus für Input $I$ benötigt. Dann definieren wir
   \begin{itemize}
     \item $T_{\text{wc}}(n) = \max\{T(I) : \abs{I} = n\}$ ist die \emph{worst case} Laufzeit.
@@ -133,108 +133,21 @@ Man sieht direkt, dass
   f \in \Theta(g) \Leftrightarrow f \in \mathcal{O}(g) \text{ und } f \in \Omega(g).
 \]
 
-Wir können nun direkt mit dieser Definition den Asymptotischen Aufwand von $T^{\text{is}}_{\text{avg}}(n)$
+Wir können nun direkt mit dieser Definition den Asymptotischen Aufwand von $T^{\text{is}}_{\text{bc}}(n)$
 klassifizieren:
-\begin{example}[$T^{\text{is}}_{\text{avg}} \in \Theta(n^2)$]
-  Zuerst zeigen wir, dass $T^{\text{is}}_{\text{avg}} = a_2 n^2 + a_1 n + a_0 \in \mathcal{O}(n^2)$:
-
-  Gesucht werden $c \in \mathbb{R}^+, n_0 \in \mathbb{N}$ sodass für alle $n > n_0:$
-  \[
-    a_2 n^2 + a_1 n + a_0 \leq c n^2.
-  \]
-  Wähle mit $m = \max(\{a_0, a_1, a_2\})$ die Konstante $c = 3m$. Dann gilt für $n > 1$:
-  \begin{align*}
-    c n^2 
-    &=      mn^2      + mn^2    + mn^2 \\
-    &\geq   a_2 n^2   + a_1 n   + a_0,
-  \end{align*}
-  da $n^2 \geq n$ und $n^2 \geq 1$ für alle $n > 1$.
-
-  Für $T^{\text{is}}_{\text{avg}} \in \Omega(n^2)$ nehmen wir noch an, dass $a_0, a_1, a_2 > 0$. Dann ist mit $c = a_2$
-  klar: 
+\begin{example}[$T^{\text{is}}_{\text{bc}} \in O(n)$]
+  Die best-case-Laufzeit von $\texttt{insertionsort}$ ist $T^{\text{is}}_{\text{bc}}(n) = w_0 + w_1 n$.
+  Es gilt 
   \[
-    c n^2 \leq a_2 n^2 + a_1 n + a_0 \text{ für alle } n \geq 0.
+    w_0 + w_1 n ≤ n + w_1 n = (w_1 + 1) n \text{ für alle } n ≥ w_0.
   \]
-  Auch ohne die Einschränkung $a_0, a_1, a_2 > 0$ gilt $T^{\text{is}}_{\text{avg}} \in \Theta(n^2)$, aber es ist eine
-  für Laufzeitfunktionen sinnvolle Einschränkung.
-\end{example}
-
-\begin{example}[$6n^3 \notin \mathcal{O}(n^2)$]
-  Als nächstes schauen wir, ob $6n^3$ asymptotisch langsamer wächst als $n^2$. Gehen wir also davon aus, dass es
-  $c \in \mathbb{R}^+$ und $n_0 \in \mathbb{N}$ gäbe, sodass $6n^3 \leq cn^2$ für alle $n > n_0$. Dann können wir die
-  Ungleichung aber mit $\frac{1}{6n^2}$ multiplizieren und hätten $n \leq \frac{c}{6}$ für alle $n > n_0$. Da $c$ eine
-  Konstante ist, ist dies ein Widerspruch.
+  Setzen wir als $c = w_1 + 1$ und $n_0 = w_0$, so gilt $w_0 + w_1 n ≤ c n$ für alle $n ≥ n_0$ und damit
+  $T^{\text{is}}_{\text{bc}} \in Θ(n)$.
 \end{example}
+Dieses Beispiel zeigt, das man die Quantorendefinition zwar direkt nutzen kann, aber dabei jedes mal nachdenken muss,
+wie $c$ und $n_0$ geschickt zu wählen sind. 
 
-Betrachten wir nun ein spannenderes Beispiel: Ist $\ln(n) \in \mathcal{O}(\sqrt{n})$? Mit unserer Quantorendefinition
-kommen wir erstmal nicht weiter. Aber gefühlt wächst $\ln$ langsamer! Wir können ja die kontinuierlichen Varianten
-$\ln(x)$ und $\sqrt{x}$ betrachten, die die Ableitung $\frac{1}{x}$ respektive $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ haben. Anscheinend
-wächst der Logarithmus ja wirklich bedeutend langsamer! Das Grenzwertkriterium (und die Regel von L'Hôpital) hilt uns
-dabei enorm:
-
-\subsection{Grenzwertkriterium}
-Oftmals ist Nachweis gewissen asymptotischen Verhaltens auf diese direkte Art recht umständlich. Existiert der Grenzwert
-$\frac{f(n)}{g(n)}$ im Infinitesimalen, so können wir das Grenzwertverhalten direkt ablesen:
-\begin{lemma}
-  \label{lemma_asymptotic_limit}
-  Seien $f,g: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}^+$ zwei positive Funktionen. Existiert der Grenzwert $\lim_{n
-  \rightarrow \infty} \frac{f(n)}{g(n)} = K$, so gilt:
-  \begin{itemize}
-    \item Ist $0 \le K <    \infty$, so folgt $f \in \mathcal{O}(g)$
-    \item Ist $0 <   K \leq \infty$, so folgt $f \in \Omega(g)$
-    \item Ist $0 <   K <    \infty$, so folgt $f \in \Theta(g)$
-  \end{itemize}
-\end{lemma}
-Damit können wir das Logarithmusbeispiel lösen:
-\begin{example}[$\ln(n) \in \mathcal{O}(\sqrt{n})$]
-  Wir betrachten weiterhin die kontinuierlichen Versionen. Dann gilt:
-  \[
-    \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\ln(x)}{\sqrt{x}} = \frac{\infty}{\infty},
-  \]
-  wir müssen uns also um die Regel von L'Hôpital bemühen. Nach dieser existiert obiger Limes, solange der Limes der
-  Ableitungen existiert.
-  \[
-    \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\ln(x)}{\sqrt{x}} = 
-    \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\frac{\partial \ln(x)}{\partial x}}{\frac{\partial \sqrt{x}}{\partial x}} = 
-    \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{2\sqrt{x}}{x} = 
-    \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{2}{\sqrt{x}} = 
-    0.
-  \]
-\end{example}
-
-Zu beachten ist, dass die Umkehrung nicht unbedingt gilt, z.B., $f(n) = \sin(\frac{n}{100}) + 1$. Es gilt
-$f(n)=\mathcal{O}(1)$, aber der Grenzwert $\lim_{n \to \infty} \frac{f(n)}{1}$ existiert nicht. Das ist 
-die Motivation für die folgende Alternativdefinition:
-
-\subsection{Definition der asymptotischen Schranken über den Limes}
-Wir erinnern uns an die Definition des Limes superior bzw Limes inferior:
-\begin{definition}[Limes superior und Limes inferior]
-  Sei $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}^+$ eine positive Funktion. Wir definieren
-  \[
-    \limsup_{n \rightarrow \infty} f(n) := \inf_{n_0 \in \mathbb{N}} \sup_{n \ge n_0} g(n)
-  \]
-  und analog
-  \[
-    \liminf_{n \rightarrow \infty} f(n) := \sup_{n_0 \in \mathbb{N}} \inf_{n \ge n_0} g(n)
-  \]
-\end{definition}
-Für uns der größte Vorteil ist, dass unter den gegebenen Umständen sowohl der Limes superior als auch der Limes inferior
-stets existieren und Werte in $\mathbb{R}^+ \cup \{\infty\}$ annehmen.
-
-Damit können wir nicht nur Kriterien für asymptotisches Wachstum benennen, sondern sogar Äquivalenzen.
-\begin{theorem}
-  Seien $f,g: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}^+$ positive reelle Funktionen. Es gilt
-  \begin{itemize}
-    \item $f \in \mathcal{O}(g) \Leftrightarrow \limsup_{n \rightarrow \infty} \frac{f(n)}{g(n)} < \infty$,
-    \item $f \in \Omega(g) \Leftrightarrow \liminf_{n \rightarrow \infty} \frac{f(n)}{g(n)} > 0$,
-    \item $f \in \Theta(g) \Leftrightarrow \limsup_{n \rightarrow \infty} \frac{f(n)}{g(n)} < \infty \text{ und }
-      \liminf_{n \rightarrow \infty} \frac{f(n)}{g(n)} > 0$.
-  \end{itemize}
-  \label{theorem:limit_definition}
-\end{theorem}
-
-
-\subsection{Rechenregeln für die $\mathcal{O}$-Notation}
+Um in Zukunft asymptotische Schranken genauer zu bestimmen, formulieren wir ein paar Rechenregeln:
 \begin{lemma}
   Seien $f, f', g, g', h: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}^+$.
   \begin{labeling}{Multiplikation\ \ }
@@ -249,7 +162,6 @@ Damit können wir nicht nur Kriterien für asymptotisches Wachstum benennen, son
 \end{lemma}
 Anmerkung: Gilt die zusätzliche Bedingung $g ∈ \mathcal{O}(g')$ nicht (und in keine der beiden Richtungen), so gilt
 immernoch $f+f' ∈ \mathcal{O}(m)$, wobei $m(n) = \text{max}(g(n), g'(n))$ das elementweise Maximum von $g$ und $g'$ ist.
-
 \begin{proof}
   Wir betrachten zur Veranschaulichung die Transitivität genauer.
   Nach Voraussetzung gibt es $c, c' \in \mathbb{R}^+$ und $n_0, n'_0 \in \mathbb{N}$, sodass $f \le cg(n)$ für alle
@@ -258,6 +170,87 @@ immernoch $f+f' ∈ \mathcal{O}(m)$, wobei $m(n) = \text{max}(g(n), g'(n))$ das
 
   Die anderen Rechenregeln verlaufen meist analog und sind eine gute Fingerübung.
 \end{proof}
+Es ist eine gute Übung, sich zu überlegen, welche der obigen Rechenregeln auch für $Θ$-Notation gelten.
+
+\begin{lemma}
+  Ist $k ≤ l$, so gilt $\mathcal{O}(n^k) ⊆ \mathcal{O}(n^l)$.
+  \label{lemma:rechenregel_potenzen}
+\end{lemma}
+\begin{proof}
+  Übungsaufgabe.
+\end{proof}
+
+Mit den zwei vorherigen Lemmata können wir nun allgemeine Polynome abschätzen:
+\begin{lemma}
+  Sei $f(n) = a_k n^k + a_{k-1} n^{k-1} + \cdots + a_1 n + a_0$ ein Polynom von Grad~$k$. Dann gilt:
+  \[
+    f(n) ∈ Θ(n^k)    
+  \]
+  \label{lemma:polynome}
+\end{lemma}
+\begin{proof}
+  Es ist $a_i n^i ∈ \mathcal{O}(n^i)$. Das kann man entweder direkt zeigen (wähle $c = a_i$) oder via der
+  Multiplikationsregel. Desweiteren dominiert $x^k$ als größte Potenz alle anderen Summanden (Lemma~
+  \ref{lemma:rechenregel_potenzen}). Nun kann man iterativ die Summenregel anwenden, bis nur noch $n^k$ übrig bleibt.
+
+  Die andere Abschätzungsrichtung geschieht ähnlich.
+\end{proof}
+\begin{example}
+  Mit Lemma \ref{lemma:polynome} ist klar: $T_{\text{wc}}^{\text{is}}(n) ∈ \mathcal{O}n^2$.
+\end{example}
+
+\subsection{Grenzwertkriterium}
+Betrachten wir nun ein spannenderes Beispiel: Ist $\ln(n) \in \mathcal{O}(\sqrt{n})$?
+Mit unserer Quantorendefinition kommen wir erstmal nicht weiter.
+Aber hieß es nicht in der Schule, der natürliche Logarithmus $\ln$ wachse langsamer als jede andere Funktion?
+
+Um diese Frage beantworten zu können, führen wir das Grenzwertkriterium ein: Existiert der Grenzwert
+$\frac{f(n)}{g(n)}$ im Infinitesimalen, so können wir das Grenzwertverhalten direkt ablesen:
+\begin{lemma}
+  \label{lemma_asymptotic_limit}
+  Seien $f,g: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}^+$ zwei positive Funktionen. Existiert der Grenzwert $\lim_{n
+  \rightarrow ∞} \frac{f(n)}{g(n)} = K$, so gilt:
+  \begin{itemize}
+    \item Ist $0 \le K <    ∞$, so folgt $f \in \mathcal{O}(g)$,
+    \item Ist $0 <   K \leq ∞$, so folgt $f \in Ω(g)$,
+    \item Ist $0 <   K <    ∞$, so folgt $f \in Θ(g)$.
+  \end{itemize}
+\end{lemma}
+\begin{proof}
+  Die Beweisidee ist die folgende:
+  \[
+    \lim_{n \rightarrow ∞} \frac{f(n)}{g(n)} = K \text{ impliziert }
+    \forall ε > 0 \  \exists n_0 ∈ \mathbb{N} \text{ sodass } \frac{f(n)}{g(n)} ∈ B_ε(K).
+  \]
+  Wir für gegebenes $c$ wählen wir uns also $ε$ sodass $c = \frac{1}{K+ε}$ und $n_0$ ist dann durch die Definition des
+  Limes gegeben.
+\end{proof}
+Zu beachten ist, dass dies keine Äquivalente Formulierung darstellt, siehe Unterkapitel \ref{subsection:limes_superior}.
+
+
+Damit können wir das Logarithmusbeispiel lösen:
+\begin{example}[$\ln(n) \in \mathcal{O}(\sqrt{n})$]
+  Wir berechnen:
+  \[
+    \lim_{n \rightarrow ∞} \frac{\ln(x)}{\sqrt{x}} = \frac{∞}{∞}.
+  \]
+  Hier kommen wir erstmal nicht weiter. Wir erinnern uns an die Regel von L'Hôspital: Nach dieser existiert
+  obiger Limes, solange der Limes der Ableitungen existiert. Wir betrachten also die kontinuerlichen Varianten obiger
+  Funktionen, $\ln(x)$ und $\sqrt{x}$:
+  \[
+    \lim_{x \rightarrow ∞} \frac{\ln(x)}{\sqrt{x}} = 
+    \lim_{x \rightarrow ∞} \frac{\frac{\partial \ln(x)}{\partial x}}{\frac{\partial \sqrt{x}}{\partial x}} = 
+    \lim_{x \rightarrow ∞} \frac{2\sqrt{x}}{x} = 
+    \lim_{x \rightarrow ∞} \frac{2}{\sqrt{x}} = 
+    0.
+  \]
+  Da der kontinuierliche Limes per Definition bedeutet, das alle möglichen diskreten Teilfolgen konvergieren,
+  konvergiert insbesondere die Teilfolge $0,1,2, \cdots$ und es unser obiger diskreter Limes ist auch 0. Durch das
+  Grenzwertkriterium wissen wir nun: $\log n ∈ \mathcal{O}(\sqrt{n})$.
+\end{example}
+
+\subsection{Rechenregeln für die $\mathcal{O}$-Notation}
+
 \begin{lemma} Die Basis des Logarithmus ist für asymptotische Betrachtung nicht interessant. Seien $b, b' \in
   \mathbb{R}^+$, dann gilt:
   \[
@@ -277,23 +270,68 @@ immernoch $f+f' ∈ \mathcal{O}(m)$, wobei $m(n) = \text{max}(g(n), g'(n))$ das
   vernachlässigbar ist.
 \end{proof}
 
-\subsection{Beispiele}
-Wir betrachten nun einige Beispiele, die die Relation gängiger Wachstumskategorien im Beispiel belegen:
+\subsection{Die gängigsten Wachstumsklassen}
+Auch wenn es vollkommen korrekt sein mag zu sagen, dass dieser oder jender Algorithmus in $\mathcal{O}(n^2 + 2n)$ liegt,
+ist es nicht die übliche Notation. Hier ist eine Auflistung der gebräuchlichsten Wachstumsklassen im Kontext der
+Informatik. Die Liste ist aufsteigend gestaltet, und alles Teilmengenbeziehungen sind echt,
+also mit $0 < c_1 < 1 c_2 $ und $b > 1$: 
+\[
+  \mathcal{O}(1) \subset \mathcal{O}(\log(n)) \subset \mathcal{O}(n^{c_1}) \subset \mathcal{O}(n) \subset
+  \mathcal{O}(n \log n) \subset \mathcal{O}(n^{c_2}) \subset \mathcal{O}(b^n) \subset \mathcal{O}(n!).
+\]
+
+\vspace{1cm}
+
+\noindent
+\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
+\hline 
+Name & $\mathcal{O}$-Notation & Bsp.-Funktion & Bsp.-Algorithmus                          \\
+\hline
+\hline 
+konstant & $\mathcal{O}(1)$ & 3 & Addition                                                \\
+\hline 
+logarithmisch & $\mathcal{O}(\log(n))$ & $\log_2(n), \ln(n)$ & Suchen                     \\
+\hline 
+Wurzelfunktion & $\mathcal{O}(n^{c}),$$0<c<1$ & $\sqrt{n},n^{\frac{1}{3}}$ & Primzahltest \\
+\hline 
+linear & $\mathcal{O}(n)$ & $3n+4$ & Maximum finden                                       \\ 
+\hline 
+linearlogarithmisch & $\mathcal{O}(n\cdot\log(n))$ & $2n\cdot \ln(n)$ & Sortieren        \\
+\hline 
+polynominal & $\mathcal{O}(n^{c}),c>1$ & $4n^{2}+7n+10$ & Matrizenoperationen             \\
+\hline 
+exponential & $\mathcal{O}(c^{n}),c>1$ & $2^{n},10^{n}$ & NP-vollst\"{a}ndige Alg.        \\
+\hline 
+Fakultät & $\mathcal{O}(n!)$ & $n!$ &                                                     \\
+\hline
+\end{tabular}
+
+Im Folgenden wollen wir einige der hier angegebenen Relationen noch Begründen:
+\begin{lemma}
+  $\mathcal{O}(n) \subset \mathcal{O}(n \log n)$.
+  Es gibt also Funktionen in $\mathcal{O}(n \log n)$, welche nicht bereits in $\mathcal{O}(n)$ liegen.
+  \label{lemma:linearlogarithmis_echt_größer}
+\end{lemma}
+\begin{proof}
+  Übungsaufgabe.
+\end{proof}
+
 \begin{example}[Polynomielles versus exponentielles Wachstum]
   Wir zeigen $n^a \in \mathcal{O}(b^n)$ für $1 < b \in \mathbb{R}$, $a > 0$. Der Einfachheit halber nehmen wir
   $a \in \mathbb{N}$ an.
 
-  Beim Betrachten des Limes des kontinuerlichen Falles $\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x^a}{b^x}$ stellen wir schnell
+  Beim Betrachten des Limes des kontinuerlichen Falles $\lim_{x \rightarrow ∞} \frac{x^a}{b^x}$ stellen wir schnell
   fest, dass wir $a$-mal die Regel von L'Hôpital anwenden müssen. Mit $\frac{\partial^a x^a}{\partial x^a} = a!$ und
   $\frac{\partial^a b^x}{\partial x^a} = b^x \log(b)^a$ sehen wir:
   \[
-    \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x^a}{b^x} =
-    \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{a!}{b^x \log(b)^a} = 
+    \lim_{x \rightarrow ∞} \frac{x^a}{b^x} =
+    \lim_{x \rightarrow ∞} \frac{a!}{b^x \log(b)^a} = 
     0.
   \]
   Damit gilt auch für die diskrete Variante $n^a \in \mathcal{O}(b^n)$. Exponentielles Wachstum trumpft also
   polynomielles Wachstum.
 \end{example}
+
 \begin{example}[Exponentielles Wachstum versus die Fakultätsfunktion]
   Wir betrachten als Beispiel $2^n \in \mathcal{O}(n!)$. Dies geschieht wieder über die Quantorendefinition: 
   Wir wählen $c=1$ und $n_0 = 4$. Damit haben wir
@@ -309,31 +347,38 @@ Wir betrachten nun einige Beispiele, die die Relation gängiger Wachstumskategor
 \end{example}
 
 
-\subsection{Die gängigsten Wachstumsklassen}
-Hier ist eine Auflistung der gebräuchlichsten Wachstumsklassen im Kontext der Informatik. Die Liste ist aufsteigend gestaltet,
-also $\mathcal{O}(1) \subseteq \mathcal{O}(\log(n)) \subseteq \cdots \subseteq \mathcal{O}(n!)$.
+\subsection{Definition der asymptotischen Schranken über den Limes*}
+\label{subsection:limes_superior}<++>
+Das Limeskriterium ist nur das: Ein Kriterium. Betrachten wir z.B., $f(n) = \sin(\frac{n}{100}) + 1$, so gilt
+$f(n)=\mathcal{O}(1)$, aber der Grenzwert $\lim_{n \to ∞} \frac{f(n)}{1}$ existiert nicht.
+
+Das ist die Motivation für die folgende Alternativdefinition:
+
+Wir erinnern uns an die Definition des Limes superior bzw Limes inferior:
+\begin{definition}[Limes superior und Limes inferior]
+  Sei $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}^+$ eine positive Funktion. Wir definieren
+  \[
+    \limsup_{n \rightarrow ∞} f(n) := \inf_{n_0 \in \mathbb{N}} \sup_{n \ge n_0} g(n)
+  \]
+  und analog
+  \[
+    \liminf_{n \rightarrow ∞} f(n) := \sup_{n_0 \in \mathbb{N}} \inf_{n \ge n_0} g(n)
+  \]
+\end{definition}
+Für uns der größte Vorteil ist, dass unter den gegebenen Umständen sowohl der Limes superior als auch der Limes inferior
+stets existieren und Werte in $\mathbb{R}^+ \cup \{∞\}$ annehmen.
+
+Damit können wir nicht nur Kriterien für asymptotisches Wachstum benennen, sondern sogar Äquivalenzen.
+\begin{theorem}
+  Seien $f,g: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}^+$ positive reelle Funktionen. Es gilt
+  \begin{itemize}
+    \item $f \in \mathcal{O}(g) \Leftrightarrow \limsup_{n \rightarrow ∞} \frac{f(n)}{g(n)} < ∞$,
+    \item $f \in \Omega(g) \Leftrightarrow \liminf_{n \rightarrow ∞} \frac{f(n)}{g(n)} > 0$,
+    \item $f \in \Theta(g) \Leftrightarrow \limsup_{n \rightarrow ∞} \frac{f(n)}{g(n)} < ∞ \text{ und }
+      \liminf_{n \rightarrow ∞} \frac{f(n)}{g(n)} > 0$.
+  \end{itemize}
+  \label{theorem:limit_definition}
+\end{theorem}
 
-\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
-\hline 
-Name & $\mathcal{O}$-Notation & Bsp.-Funktion & Bsp.-Algorithmus                          \\
-\hline
-\hline 
-konstant & $\mathcal{O}(1)$ & 3 & Addition                                                \\
-\hline 
-logarithmisch & $\mathcal{O}(\log(n))$ & $\log_2(n), \ln(n)$ & Suchen                     \\
-\hline 
-Wurzelfunktion & $\mathcal{O}(n^{c}),$$0<c<1$ & $\sqrt{n},n^{\frac{1}{3}}$ & Primzahltest \\
-\hline 
-linear & $\mathcal{O}(n)$ & $3n+4$ & Maximum finden                                       \\ 
-\hline 
-linearlogarithmisch & $\mathcal{O}(n\cdot\log(n))$ & $2n\cdot \ln(n)$ & Sortieren        \\
-\hline 
-polynominal & $\mathcal{O}(n^{c}),c>1$ & $4n^{2}+7n+10$ & Matrizenoperationen             \\
-\hline 
-exponential & $\mathcal{O}(c^{n}),c>1$ & $2^{n},10^{n}$ & NP-vollst\"{a}ndige Alg.        \\
-\hline 
-Fakultät & $\mathcal{O}(n!)$ & $n!$ &                                                     \\
-\hline
-\end{tabular}