Tippfehler ausgebessert, Löschvorgang bei offener Addressierung genauer beschrieben.

302_Hashtabellen.tex

@@ -56,7 +56,8 @@ und können.
 Die Idee liegt darin, Elemente, die zum gleichen Index führen, als verkette
 Liste zu organisieren. Das heißt, dass in der Hashtabelle in Feld $j$ nur der Kopf einer Liste steht.
 Konzeptionell ist eine Hashtabelle mit Überläuferlisten der Größe $m$ also eigentlich kein Array, sondern eine
-Komposition aus einer $m-$wertigen Hashfunktion $h$ und $m$ Listen: $\mathcal{T} = (h, \mathcal{L}_0, \dots, \mathcal{L}_{m-1}$.
+Komposition aus einer $m-$wertigen Hashfunktion $h$ und $m$ Listen: $\mathcal{T} = (h, \mathcal{L}_0, \dots,
+\mathcal{L}_{m-1})$.
 In einer konkreten Implementierung, insbesondere dann, wenn die Kollisionen nur sehr selten auftreten, können wir ein
 Array nutzen und die Listen nur im Kollisionsfall dazuschalten.
 
@@ -77,7 +78,7 @@ Die drei nötigen Funktionen zur Lösung des Wörterbuchproblems können folgend
 Im Laufe der Zeit werden in unser Hashtable $\mathcal{T}$ Elemente eingefügt und gelöscht, die derzeitige Anzahl der
 Elemente bezeichnen wir mit $n \in \mathbb{N}$. Wir betrachten nun den durchschnittlichen Aufwand beim Suchen in
 Abhängigkeit von dem Belegungsfaktor $α$.
-Wir nehmen an, dass wir eine ideale Hashfunktion $h_{\text{i}}$ vorliegen haben.
+Wir nehmen an, dass wir eine ideale Hashfunktion $h$ vorliegen haben.
 
 Der worst case wäre, dass alle Elemente
 durch großes Pech beim hashen in einer einzigen Überläuferliste gespeichert sind, welche wir mit $Θ(n)$ Aufwand linear durchsuchen müssen. Dieser
@@ -110,7 +111,7 @@ Es gibt drei übliche Sondierungsverfahren, das linear probing, quadratic probin
     \]
     Diese Methode ist sehr schnell, aber es kommt zu einem sogenannten Primärcluster: Benachbarte Positionen sind mit
     höherer Wahrscheinlichkeit belegt. Je nach Hashfunktion $h$ kann das ein großer Nachteil sein.
-  \item Qudaratisches Sondieren: Indem man die Sprünge beim Versuch eine freie Stelle zu finden quadratisch ansteigen lässt, kann man den primären
+  \item Qudratisches Sondieren: Indem man die Sprünge beim Versuch eine freie Stelle zu finden quadratisch ansteigen lässt, kann man den primären
     Ballungseffekt verhindern. Die derivierte Hashfunktion $h'$ ist also
     \[
       h'(s,i) = \left(h(s) + c_2 i^2 + c_1 i \right) \text{ mod } m.
@@ -156,7 +157,7 @@ Man beachte, dass die asymptotische Zeit zum Einfügen nun nichtmehr konstant is
   \For{$i \leftarrow 0$ \KwTo $m - 1$}{
     $j \leftarrow h'(s,i)$ \;
     \uIf{$\texttt{key}(\mathcal{A}[j]) = s$}{
-      \KwRet $\mathcal{T}$
+      \KwRet $(s,d)$
     }
     \uElseIf{$\mathcal{A}[j] = \texttt{null}$}{
       \texttt{error}(Key $s$ not found) \;
@@ -166,7 +167,8 @@ Man beachte, dass die asymptotische Zeit zum Einfügen nun nichtmehr konstant is
 \end{algorithm}
 
 Der Algorithmus für das Löschen beginnt wie bei Überläuferliste erst aus dem Suchen. Wird ein Element mit passendem
-Schlüssel gefunden, wird das Arrayfeld mit $\texttt{null}$ überschrieben.
+Schlüssel gefunden, so wird der letzte Eintrag mit dem gleichen Hash an diese Stelle geschrieben und das nun nichtmehr
+benötigte Arrayfeld durch überschreiben mit $\texttt{null}$ freigegeben.
 
 Eine Hashtabelle dieser Art definiert sich also mit $\mathcal{T} = (h', \mathcal{A})$, wobei $\mathcal{A}$ ein
 gewöhnliches Array der Länge $m$ ist.
@@ -174,7 +176,7 @@ gewöhnliches Array der Länge $m$ ist.
 Wieder wollen wir die Aufwände für das Suchen betrachten. Wir konzentrieren uns auf den Fall, dass das gesuchte Elemente
 nicht in der Tabelle vorhanden ist. In diesem Fall ist der Aufwand für das Suchen gleich dem Aufwand für das Einfügen. 
 Wie zuvor ist der Belegungsfaktor $α$ ausschlaggebend. In Fall von offener Adressierung gilt stets $α \leq 1$, wir
-wollen hier aber $α < 1$ annehmen, da sonst die Aufwände ins unendliche Wachsen.
+wollen hier aber $α < 1$ annehmen, da sonst die Aufwände ins Unendliche wachsen.
 Weiterhin nehmen wir wieder die Verwendung einer idealen Hashfunktion an:
 
 Ist unser Element nicht vorhanden, so ist (tautologisch) jeder Versuch bis auf den letzten besetzt. Sei $p_i$ die Wahrscheinlichkeit, dass genau $i$ Versuche besetzt sind.
@@ -220,7 +222,7 @@ Bisher haben wir nur eine ideale Hashfunktion benutzt, die aber so ein theoretis
 reale Hashfunktionen:
 
 \begin{itemize}
-  \item Die Identitätsfunktion: Ist der Schlüssel $s$ bereits eine Zahl in $\{0,\dots,m-1\}$, sowie gleichverteilt und Kollisionsarm, so kann man als
+  \item Die Identitätsfunktion: Ist der Schlüssel $s$ bereits eine Zahl in $\{0,\dots,m-1\}$, sowie gleichverteilt und kollisionsarm, so kann man als
     Hashfunktion einfach die Identität $h(s) = s$ nehmen. Das ist zweifelsohne am schnellsten.
   \item Division mit Rest:
     \[
@@ -236,7 +238,7 @@ reale Hashfunktionen:
     \]
     Diese Hashfunktion ist immernoch sehr schnell und liefert bei guter Wahl von $A$ ausreichend gute Resultate.
   \item Fibonacci-Hash: Das ist die Multiplikationsmethode mit $A = \frac{\sqrt{5} - 1}{2} \approx 0.6180339\dots$
-    verwendet. Durch seine irrationalität erreicht er eine gute Verteilung.
+    verwendet. Durch seine Irrationalität erreicht er eine gute Verteilung.
   \item Kryptographische Hashfunktionen: Im Prinzip kann auch eine beliebige kryptographische Hashfunktion genutzt
     werden. Diese haben nahezu ideale Eigenschaften (Gleichverteilung, Schwierigkeit eine Hashkollision zu erzwingen, etc), sind aber
     aufgrund ihres Designs auch sehr rechenintensiv. Außerdem gibt es Einschränkungen in der Größe von $m$.