adaptiv formalisiert

205_Eigenschaften_von_Sortieralgorithmen.tex

@@ -31,7 +31,34 @@ Gelegentlich wird auch Speicherverbrauch von $\mathcal{O}(\log n)$ noch als \emp
 
 \subsection{Adaptivität}
 Als adaptiv bezeichnet man einen Sortieralgorithmus, der kürzere Laufzeiten hat, wenn Teile des Arrays bereits sortiert
-sind. Insbesondere muss der best-case also in $\mathcal{O}(n)$ liegen.
+sind. Insbesondere muss der best-case also in $\mathcal{O}(n)$ liegen. Diese Definition lässt sich mittels
+Fehlstellungen präzisieren:
+
+\begin{definition}[Fehlstände und Fehlstandszahl]
+  Sei A eine geordnete Menge und sei $[a_1, \dots, a_n] \in A^n$ eine Folge von Elementen in A. Die Anzahl der
+  Fehlstände bezüglich $a_i$ ist 
+  \[
+    f_i := |\{a_j : j > i, a_j < a_i \}|,
+  \]
+  also alle Elemente die rechts von $a_i$ liegen, obwohl sie bei einer geordneten Folge links von $a_i$ liegen sollten.
+  Die Summe aller Fehlstände einer solchen Folge ist die Fehlstandszahl
+  \[
+    F([a_1, \dots, a_n]) := \sum_{i=1}^n f_i.
+  \]
+\end{definition}
+
+Die Fehlstandszahl ist $F([1,2,3, \dots ,n]) = 0$, falls wir eine vollständig sortierte Folge haben, ist bei einer
+einzelnen Vertauschung von zwei Nachbarn $1$ und wir bei einem invers sortierten Array maximiert:
+$F([n,n-1,\dots,1]) = \sum_{i=1}^{n-1} i = \frac{n^2 - n}{2}$.
+
+Adaptiv im strengeren Sinne bedeutet nun, dass sich die (asymptotische) Laufzeit auch in Abhängigkeit zu den Fehlständen
+ausdrücken lässt und geringer wird, wenn weniger Fehlstände vorliegen.
+
+Allerdings wird adaptiv landläufig auch etwas lockerer gehandhabt und umschließt auch das Erkennen invers sortierter
+Teilbereich ein. Diese stellen in unserer Definition aber gerade den maximal schlimmsten Fall dar.
+
+TODO: Beispiel \texttt{insertionsort}.
+
 
 \subsection{Parallelisierbarkeit}
 Sowohl auf dem PC, als auch im Smartphone und inbesondere in einem Rechenzentrum wird zusätzliche Rechenleistung fast