From db0412f096a7c297f1a3ddc75e0ba10d81359612 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Florian Unger <florian.unger@posteo.net>
Date: Tue, 8 Mar 2022 16:13:11 +0100
Subject: [PATCH] small updates
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102_Asymptotische_Schranken.tex | 17 ++++++++---------
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@@ -209,13 +209,13 @@ die Motivation für die folgende Alternativdefinition:
\subsection{Definition der asymptotischen Schranken über den Limes}
Wir erinnern uns an die Definition des Limes superior bzw Limes inferior:
\begin{definition}[Limes superior und Limes inferior]
- Sei $g: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}^+$ eine positive Funktion. Wir definieren
+ Sei $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}^+$ eine positive Funktion. Wir definieren
\[
- \limsup_{n \rightarrow \infty} g(n) := \inf_{n_0 \in \mathbb{N}} \sup_{n \ge n_0} g(n)
+ \limsup_{n \rightarrow \infty} f(n) := \inf_{n_0 \in \mathbb{N}} \sup_{n \ge n_0} g(n)
\]
und analog
\[
- \liminf_{n \rightarrow \infty} g(n) := \sup_{n_0 \in \mathbb{N}} \inf_{n \ge n_0} g(n)
+ \liminf_{n \rightarrow \infty} f(n) := \sup_{n_0 \in \mathbb{N}} \inf_{n \ge n_0} g(n)
\]
\end{definition}
Für uns der größte Vorteil ist, dass unter den gegebenen Umständen sowohl der Limes superior als auch der Limes inferior
@@ -238,8 +238,9 @@ Damit können wir nicht nur Kriterien für asymptotisches Wachstum benennen, son
\begin{lemma}
Seien $f, f', g, g', h: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}^+$.
\begin{labeling}{Multiplikation\ \ }
- \item[Addition] Seien $f \in \mathcal{O}(g)$ und $f' \in \mathcal{O}(g')$. Dann ist $f+f' \in \mathcal{O}(g)
- \cup \mathcal{O}(g')$.
+ \item[Addition] Seien $f \in \mathcal{O}(g)$ und $f' \in \mathcal{O}(g')$. Dann ist $f+f' \in \mathcal{O}(m)$, wobei
+ $m(n) = \text{max}(g(n), g'(n))$ die Funktion in Abhängigkeit von $g$ und $g'$ ist, welche Elementweise das Maximum
+ nimmt.
\item[Subtraktion] Seien $f, f' \in \mathcal{O}(g)$. Dann gilt $f-f' \in \mathcal{O}(g)$.
\item[Multiplikation] Seien $f \in \mathcal{O}(g)$ und $f' \in \mathcal{O}(g')$. Dann gilt $ff' \in
\mathcal{O}(gg')$.
@@ -247,10 +248,8 @@ Damit können wir nicht nur Kriterien für asymptotisches Wachstum benennen, son
\end{labeling}
\label{lemma:asymptotische_rechenregeln}
\end{lemma}
-Zur Additionsregel sei angemerkt, dass sie durch die Transitivitätsregel meist weiter vereinfachen lässt. Wachsen
-$g$ und $g'$ gleich schnell, also $g \in \Theta(g')$, so ist $\mathcal{O}(g) = \mathcal{O}(g')$. Wächst o.B.d.A. $g'$ stärker
-als $g$, also $g \in \mathcal{O}(g')$, so ist $\mathcal{O}(g) \cup \mathcal{O}(g') = \mathcal{O}(g')$. Nur für den
-seltenen Fall, das $g \notin \mathcal{O}(g')$ und $g' \notin \mathcal{O}(g)$ bleibt es bei der Meingenvereinigung.
+Zur Additionsregel sei angemerkt, dass in vielen praktischen Fällen meist $g \in \mathcal{O}(g')$ oder andersherum gilt.
+Dann kann man $m$ einfach durch $g'$ (bzw $g$) ersetzen.
\begin{proof}
Wir betrachten zur Veranschaulichung die Transitivität genauer.
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