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102_Asymptotische_Schranken.tex

@@ -209,13 +209,13 @@ die Motivation für die folgende Alternativdefinition:
 \subsection{Definition der asymptotischen Schranken über den Limes}
 Wir erinnern uns an die Definition des Limes superior bzw Limes inferior:
 \begin{definition}[Limes superior und Limes inferior]
-  Sei $g: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}^+$ eine positive Funktion. Wir definieren
+  Sei $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}^+$ eine positive Funktion. Wir definieren
   \[
-    \limsup_{n \rightarrow \infty} g(n) := \inf_{n_0 \in \mathbb{N}} \sup_{n \ge n_0} g(n)
+    \limsup_{n \rightarrow \infty} f(n) := \inf_{n_0 \in \mathbb{N}} \sup_{n \ge n_0} g(n)
   \]
   und analog
   \[
-    \liminf_{n \rightarrow \infty} g(n) := \sup_{n_0 \in \mathbb{N}} \inf_{n \ge n_0} g(n)
+    \liminf_{n \rightarrow \infty} f(n) := \sup_{n_0 \in \mathbb{N}} \inf_{n \ge n_0} g(n)
   \]
 \end{definition}
 Für uns der größte Vorteil ist, dass unter den gegebenen Umständen sowohl der Limes superior als auch der Limes inferior
@@ -238,8 +238,9 @@ Damit können wir nicht nur Kriterien für asymptotisches Wachstum benennen, son
 \begin{lemma}
   Seien $f, f', g, g', h: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}^+$.
   \begin{labeling}{Multiplikation\ \ }
-    \item[Addition] Seien $f \in \mathcal{O}(g)$ und $f' \in \mathcal{O}(g')$. Dann ist $f+f' \in \mathcal{O}(g)
-      \cup \mathcal{O}(g')$.
+    \item[Addition] Seien $f \in \mathcal{O}(g)$ und $f' \in \mathcal{O}(g')$. Dann ist $f+f' \in \mathcal{O}(m)$, wobei
+      $m(n) = \text{max}(g(n), g'(n))$ die Funktion in Abhängigkeit von $g$ und $g'$ ist, welche Elementweise das Maximum
+      nimmt.
     \item[Subtraktion] Seien $f, f' \in \mathcal{O}(g)$. Dann gilt  $f-f' \in \mathcal{O}(g)$.
     \item[Multiplikation] Seien $f \in \mathcal{O}(g)$ und $f' \in \mathcal{O}(g')$. Dann gilt $ff' \in
       \mathcal{O}(gg')$.
@@ -247,10 +248,8 @@ Damit können wir nicht nur Kriterien für asymptotisches Wachstum benennen, son
   \end{labeling}
   \label{lemma:asymptotische_rechenregeln}
 \end{lemma}
-Zur Additionsregel sei angemerkt, dass sie durch die Transitivitätsregel meist weiter vereinfachen lässt. Wachsen
-$g$ und $g'$ gleich schnell, also $g \in \Theta(g')$, so ist $\mathcal{O}(g) = \mathcal{O}(g')$. Wächst o.B.d.A. $g'$ stärker
-als $g$, also  $g \in \mathcal{O}(g')$, so ist $\mathcal{O}(g) \cup \mathcal{O}(g') = \mathcal{O}(g')$. Nur für den
-seltenen Fall, das $g \notin \mathcal{O}(g')$ und $g' \notin \mathcal{O}(g)$ bleibt es bei der Meingenvereinigung.
+Zur Additionsregel sei angemerkt, dass in vielen praktischen Fällen meist $g \in \mathcal{O}(g')$ oder andersherum gilt.
+Dann kann man $m$ einfach durch $g'$ (bzw $g$) ersetzen.
 
 \begin{proof}
   Wir betrachten zur Veranschaulichung die Transitivität genauer.