From 8b4f703813b516b9319490115f14913d0af0d74d Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Florian Unger <florian.unger@posteo.net> Date: Fri, 12 Mar 2021 12:11:35 +0100 Subject: [PATCH] typos --- 102_Asymptotische_Schranken.tex | 8 ++++---- 1 file changed, 4 insertions(+), 4 deletions(-) diff --git a/102_Asymptotische_Schranken.tex b/102_Asymptotische_Schranken.tex index 67b1bd4..d13f010 100644 --- a/102_Asymptotische_Schranken.tex +++ b/102_Asymptotische_Schranken.tex @@ -39,7 +39,7 @@ Wir betrachten grundsätzlich Funktionen $f(n),g(n):\mathbb{N}\rightarrow\mathbb asymptotisch obere Schranke für $f(n)$, wenn eine positive Konstante $c$ und eine natürliche Zahl $n_0$ existieren, sodass ab diesem $n_0$ die Funktion $f(n)$ für alle $n > n_0$ kleiner als $c \cdot g(n)$ bleibt. \begin{definition}[Asymptotisch obere Schranke: $\mathcal{O}$-Notation] - Seien $f,g: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}^+$ zwei positive Funktionen. Wir definitieren die Menge der von $g$ aymptotisch + Seien $f,g: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}^+$ zwei positive Funktionen. Wir definieren die Menge der von $g$ asymptotisch nach oben beschränkten Funktionen \[ \mathcal{O}(g) := \{f\ |\ \exists c \in \mathbb{R}^+, \exists n_o \in \mathbb{N}, \forall n > n_0: f(n) \le c g(n)\}. @@ -52,7 +52,7 @@ aber meinen damit stets $f \in \mathcal{O}(g)$. Es wird oftmals auch die Notatio Analog dazu die untere Schranke: Wieder müssen $c \in \mathbb{R}^+$ und $n_0 \in \mathbb{N}$ existieren, sodass für alle fortfolgenden $n \in \mathbb{N}$ $f(n)$ stets \emph{größer} ist $c g(n)$. \begin{definition}[Asymptotisch untere Schranke: $\Omega$-Notation] - Seien $f,g: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}^+$ zwei positive Funktionen. Wir definitieren die Menge der von $g$ aymptotisch + Seien $f,g: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}^+$ zwei positive Funktionen. Wir definieren die Menge der von $g$ asymptotisch nach unten beschränkten Funktionen \[ \Omega(g) := \{f\ |\ \exists c \in \mathbb{R}^+, \exists n_o \in \mathbb{N}, \forall n > n_0: f(n) \ge c g(n)\}. @@ -64,7 +64,7 @@ aber meinen damit stets $f \in \Omega(g)$. Es wird oftmals auch die Notation $f Die Definition der beidseitigen Schranke überrascht nun nichtmehr: \begin{definition}[Asymptotisch exakte Schranke: $\Theta$-Notation] - Seien $f,g: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}^+$ zwei positive Funktionen. Wir definitieren die Menge der von $g$ aymptotisch + Seien $f,g: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}^+$ zwei positive Funktionen. Wir definieren die Menge der von $g$ asymptotisch exakt beschränkten Funktionen \[ \Theta(g) := \{f\ |\ \exists c_1, c_2 \in \mathbb{R}^+, \exists n_o \in \mathbb{N}, \forall n > n_0: @@ -187,7 +187,7 @@ $\frac{f(n)}{g(n)}$ im Infinitesimalen, so können wir das Grenzwertverhalten di \end{lemma} Damit können wir das Logarithmusbeispiel lösen: \begin{example}[$\ln(n) \in \mathcal{O}(\sqrt{n})$] - Wir betrachten weiterhin die kontinuerlichen Versionen. Dann gilt: + Wir betrachten weiterhin die kontinuierlichen Versionen. Dann gilt: \[ \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\ln(x)}{\sqrt{x}} = \frac{\infty}{\infty}, \] -- GitLab